Question

已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直且長度分別為a、b、c，設(shè)O為S在底面ABC上的射影．
求證：（1）O為△ABC的垂心；
（2）O在△ABC內(nèi)；
（3）設(shè)SO=h，則

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

=

1

h2

．

Answer 1

分析：（1）只需證明O在△ABC的三條高線上，即可證明O為△ABC的垂心；
（2）只需證明△ABC是銳角三角形，即可證明O在△ABC內(nèi)；
（3）設(shè)SO=h，利用等面積法：SB•SC=BC•SD、SA•SD=AD•SO，推得關(guān)系化簡為

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

=

1

h2

．

解答：證明：（1）∵SA⊥SB，SA⊥SC，
∴SA⊥平面SBC，BC?平面SBC．∴SA⊥BC．
而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC．
同理可證AB⊥CF，AC⊥BE，故O為△ABC的垂心．
（2）證明△ABC為銳角三角形即可．不妨設(shè)a≥b≥c，
則底面三角形ABC中，AB=

a2+b2

為最大，從而∠ACB為最大角．
用余弦定理求得cos∠ACB=

2c2

2 b2+c2 a2+c2

＞0，
∴∠ACB為銳角，△ABC為銳角三角形．故O在△ABC內(nèi)．
（3）SB•SC=BC•SD，
故SD=

bc

b2+c2

，

1

SD2

=

1

b2

+

1

c2

，又SA•SD=AD•SO，
∴

1

SO2

=

AD2

a2•SD2

=

a2+SD2

a2•SD2

=

1

a2

+

1

SD2

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

=

1

h2

．

點(diǎn)評：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，余弦定理，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．