如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AC∩BD＝O．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，得到三棱錐A－BCD．

(1)求證：平面AOC⊥平面BCD；

(2)若三棱錐A－BCD的體積為，求AC的長(zhǎng)．

答案：
解析：

　　(1)證明：因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4809/0019/7f8368fdc2ba752836e0674fb55ec914/C/Image72.gif" width=48 height=18>是正方形，

　　所以，．1分

　　在折疊后的△和△中，

　　仍有，．2分

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4809/0019/7f8368fdc2ba752836e0674fb55ec914/C/Image78.gif" width=93 HEIGHT=20>，所以平面．3分

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4809/0019/7f8368fdc2ba752836e0674fb55ec914/C/Image81.gif" width=42 height=17>平面，

　　所以平面平面．4分

　　(2)解：設(shè)三棱錐的高為，

　　由于三棱錐的體積為，

　　所以．5分

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4809/0019/7f8368fdc2ba752836e0674fb55ec914/C/Image90.gif" width=217 height=41>，所以．6分

　　以下分兩種情形求的長(zhǎng)：

　�、佼�(dāng)為鈍角時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

　　由(1)知平面，所以．

　　又，且，所以平面．

　　所以為三棱錐的高，即．7分

　　在△中，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4809/0019/7f8368fdc2ba752836e0674fb55ec914/C/Image107.gif" width=64 HEIGHT=22>，

　　所以

　　．8分

　　在△中，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4809/0019/7f8368fdc2ba752836e0674fb55ec914/C/Image111.gif" width=62 height=22>，

　　則．9分

　　所以．10分

　�、诋�(dāng)為銳角時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，

　　由(1)知平面，所以．

　　又，且，所以平面．

　　所以為三棱錐的高，即．11分

　　在△中，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4809/0019/7f8368fdc2ba752836e0674fb55ec914/C/Image107.gif" width=64 HEIGHT=22>，

　　所以

　　．12分

　　在△中，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4809/0019/7f8368fdc2ba752836e0674fb55ec914/C/Image111.gif" width=62 height=22>，

　　則．13分

　　所以．

　　綜上可知，的長(zhǎng)為或．14分


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)．
（1）證明：CM∥平面DFB
（2）求異面直線AM與DE所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•廣州模擬）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對(duì)角BD折起，得到三棱錐A-BCD．
（1）求證：平面AOC⊥平面BCD；
（2）若三棱錐A-BCD的體積為
6
3
，求AC的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•豐臺(tái)區(qū)二模）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BA的延長(zhǎng)線于P1，然后以B為圓心，BP1長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交CB的延長(zhǎng)線于P2，再以C為圓心，CP2長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交DC的延長(zhǎng)線于P3，再以D為圓心，DP3長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AD的延長(zhǎng)線于P4，再以A為圓心，AP4長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，…，如此繼續(xù)下去，畫(huà)出的第8道弧的半徑是
8
8
，畫(huà)出第n道弧時(shí)，這n道弧的弧長(zhǎng)之和為
n(n+1)π
4
n(n+1)π
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn).

求證：

（1）AM∥平面BDE；

（2）AM⊥平面BDF.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆黑龍江省哈爾濱市高二下期中考試文數(shù)學(xué)卷（解析版） 題型：解答題

如圖所示，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直, 是線段的中點(diǎn)。

（1）證明：∥平面

（2）求異面直線與所成的角的余弦值。

 

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