Question

已知圓C經(jīng)過(guò)A（1，

3

）、B（

2

，-

2

），且圓心在直線y=x上．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為（t³+2t）x+（t³+t+1）y-（t³+2t）=0，
①證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)t，直線l過(guò)定點(diǎn)P；
②過(guò)動(dòng)點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，且有

MA

•

MB

=0，求M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出圓心和半徑即可求圓C的方程；
（2）①將直線方程進(jìn)行整理，即可求得定點(diǎn)坐標(biāo)，②根據(jù)

MA

•

MB

=0，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為C（a，a），
則由|CA|=|CB|得

(a-1)2+(a- 3 )2

=

(a- 2 )2+(a+ 2 )2

，
解得a=0，
即圓心C（0，0），
則半徑r=|CA|=

(a-1)2+(a- 3 )2

=

1+3

=

4

=2，
則圓C的方程為x²+y²=4；
（2）∵（t³+2t）x+（t³+t+1）y-（t³+2t）=0，
∴（t³+2t）（x-1）+（t³+t+1）y=0，
∴當(dāng)x=1，y=0時(shí)，方程（t³+2t）（x-1）+（t³+t+1）y=0恒成立，
即對(duì)任意實(shí)數(shù)t，直線l過(guò)定點(diǎn)P（1，0）．
∵過(guò)動(dòng)點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，且有

MA

•

MB

=0，
∴ACBM是正方形，
∴M的軌跡方程是x²+y²=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．