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3.已知橢圓C:x24+y2=1與x軸、y軸的正半軸分別相交于A、B兩點(diǎn).點(diǎn)M、N為橢圓C上相異的兩點(diǎn),其中點(diǎn)M在第一象限,且直線AM與直線BN的斜率互為相反數(shù).
(1)證明:直線MN的斜率為定值;
(2)求△MBN面積的取值范圍.

分析 (1)設(shè)直線AM的方程為y=k(x-1),直線BN的方程為y=-kx+1,分別與橢圓C聯(lián)立方程組,分別求出M點(diǎn)坐標(biāo)、N點(diǎn)坐標(biāo),由此能求出直線MN的斜率.
(2)設(shè)直線MN的方程為y=12x+b,(-1<b<1),記A,B到直線MN的距離分別為dA,dB,求出dA+dB=455,聯(lián)立方程組{y=12x+bx2+4y2=4,得x2+2bx+2b2-2=0,由此利用韋達(dá)定理、弦長公式能求出S△MBN的取值范圍.

解答 證明:(1)∵直線AM與直線BN的斜率互為相反數(shù),
∴設(shè)直線AM的方程為y=k(x-2),直線BN的方程為y=-kx+1,
聯(lián)立方程組{y=kx2x2+4y2=4,解得M點(diǎn)坐標(biāo)為M(8k224k2+14k4k2+1),
聯(lián)立方程組{y=kx+1x2+4y2=4,解得N點(diǎn)坐標(biāo)為N(8k4k2+114k24k2+1),
∴直線MN的斜率kMN=14k24k2+14k4k2+18k4k2+18k224k2+1=12
解:(2)設(shè)直線MN的方程為y=12x+b,(-1<b<1),
記A,B到直線MN的距離分別為dA,dB,
則dA+dB=|1+b|1+14+|1+b|1+14=455
聯(lián)立方程組{y=12x+bx2+4y2=4,得x2+2bx+2b2-2=0,
xM+xN=2bxMxN=222,
|MN|=1+14|xM-xN|=522,
S△MBN=S△AMN+S△BMN=12|MN|•dA+12|MN|•dB
=12|MN|(dA+dB)=222,
∵-1<b<1,∴S△MBN∈(2,22].

點(diǎn)評 本題考查直線斜率為定值的證明,考查三角形面積的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)、直線與橢圓位置關(guān)系、韋達(dá)定理、弦長公式的合理運(yùn)用.

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