分析 (1)設(shè)直線AM的方程為y=k(x-1),直線BN的方程為y=-kx+1,分別與橢圓C聯(lián)立方程組,分別求出M點(diǎn)坐標(biāo)、N點(diǎn)坐標(biāo),由此能求出直線MN的斜率.
(2)設(shè)直線MN的方程為y=12x+b,(-1<b<1),記A,B到直線MN的距離分別為dA,dB,求出dA+dB=4√55,聯(lián)立方程組{y=12x+bx2+4y2=4,得x2+2bx+2b2-2=0,由此利用韋達(dá)定理、弦長公式能求出S△MBN的取值范圍.
解答 證明:(1)∵直線AM與直線BN的斜率互為相反數(shù),
∴設(shè)直線AM的方程為y=k(x-2),直線BN的方程為y=-kx+1,
聯(lián)立方程組{y=k(x−2)x2+4y2=4,解得M點(diǎn)坐標(biāo)為M(8k2−24k2+1,−4k4k2+1),
聯(lián)立方程組{y=−kx+1x2+4y2=4,解得N點(diǎn)坐標(biāo)為N(8k4k2+1,1−4k24k2+1),
∴直線MN的斜率kMN=1−4k24k2+1−−4k4k2+18k4k2+1−8k2−24k2+1=12.
解:(2)設(shè)直線MN的方程為y=12x+b,(-1<b<1),
記A,B到直線MN的距離分別為dA,dB,
則dA+dB=|−1+b|√1+14+|1+b|√1+14=4√55,
聯(lián)立方程組{y=12x+bx2+4y2=4,得x2+2bx+2b2-2=0,
∴xM+xN=−2b,xM•xN=22−2,
|MN|=√1+14|xM-xN|=√5•√2−2,
S△MBN=S△AMN+S△BMN=12|MN|•dA+12|MN|•dB
=12|MN|(dA+dB)=2√2−2,
∵-1<b<1,∴S△MBN∈(2,2√2].
點(diǎn)評 本題考查直線斜率為定值的證明,考查三角形面積的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)、直線與橢圓位置關(guān)系、韋達(dá)定理、弦長公式的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | √5 | C. | 4 | D. | √13 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (ln12e,+∞) | B. | (-1,+∞) | C. | (1,+∞) | D. | (-ln2,+∞) |
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A. | 有一個解 | B. | 有兩個解 | C. | 至少有三個解 | D. | 至少有兩個解 |
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