Question

【題目】已知函數，，.

（1）試判斷函數的奇偶性，并說明理由；

（2）若，求在上的最大值；

（3）若，求函數在上的最小值.

Answer 1

【答案】（1）當，為偶函數，當，為非奇非偶函數；詳見解析

（2）最大值；

（3）.

【解析】

（1）時，利用定義可以判斷為偶函數，時，通過反例可判斷為非奇非偶函數.

（2）利用基本不等式和二次函數的性質可求函數的最大值.

（3）由題設可得，分類討論求出在上的最小值后再取兩個最小值中的較小者即為的最小值.

（1）當時，，其定義域為.

因為，故為偶函數.

當時，，而，

因為，故，又，

故為非奇非偶函數.

綜上，時為偶函數，時，為非奇非偶函數.

（2）當時，，

當時，.

又，

由基本不等式有，

當且僅當時等號成立，故的最大值為.

（3）.

所以，其中.

當時，，

當時，，，

當時，因為 故；

當時，因為 故.

當時，，，

當時，，，

因為，故.

當時，

當時，，

此時，故，，

當時，由，故.

當時，由，故.

當時，，故，，故.

綜上， .