如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知側面，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=.
(1) 求證：C1B⊥平面ABC；
（2）設 =l(0≤l≤1)，且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角  
的大小為30°，試求l的值.

(1)證明見解析；（2）

解析試題分析：(1)利用已知的線面垂直關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算.其中靈活建系是解題的關鍵.(2)證明線面垂直，需證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3)把向量夾角的余弦值轉化為兩平面法向量夾角的余弦值;(4）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當?shù)淖鴺讼担瑢嵤⿴缀螁栴}代數(shù)化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備.
試題解析：1）因為側面,側面，故,
在中, 由余弦定理得：
，
所以，   3 分 
故,所以,而平面.  5分
（2）由（1）可知，兩兩垂直.以為原點，所在直線為
 軸建立空間直角坐標系．
則，,．  7分
所以,所以, 
則．設平面的法向量為，
則由,得,即，
令，則是平面的一個法向量．    10分
側面,是平面的一個法向量，
.
兩邊平方并化簡得，所以=1或（舍去）.    12分
考點：（1）證明直線與平面垂直；（2）利用空間向量解決二面角問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

與A(-1，2，3)，B(0，0，5)兩點距離相等的點P(x，y，z)的坐標滿足的條件為__________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，分別是正三棱柱的棱、的中點，且棱，.
（1）求證：平面；
（2）在棱上是否存在一點，使二面角的大小為，若存在，求的長，若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點．

(1)證明：B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；
(3)設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，正方體的邊長為2，，分別為，的中點，在五棱錐中，為棱的中點，平面與棱，分別交于，.
（1）求證：；
（2）若底面，且，求直線與平面所成角的大小，并求線段的長.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，
，。M、N分別是AC和BB1的中點。
（1）求二面角的大小。
（2）證明：在AB上存在一個點Q，使得平面⊥平面，   
并求出的長度。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在正四棱錐P－ABCD中，PA＝AB＝，點M，N分別在線段PA和BD上，BN＝BD．
（1）若PM＝PA，求證：MN⊥AD；
（2）若二面角M－BD－A的大小為，求線段MN的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外一點O，給出下列表達式：
其中x，y是實數(shù)，若點M與A、B、C四點共面，則x+y="­­___"     

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

在棱長為1的正四面體ABCD中，E是BC的中點，則 _  ▲   .

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