Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=3，點(diǎn)（a₄，a₈）在直線2x+y-29=0上，設(shè)b_n=a_n+2

an+1

2

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則點(diǎn)（n，S_n）到直線2x+y-24=0的最小距離為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與解析幾何的綜合

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意，設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則

a1+d=3 2(a1+3d)+(a1+7d)-29=0

，從而求出等差數(shù)列{a_n}，進(jìn)而求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式，再由題意驗(yàn)證最小距離即可．

解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則

a1+d=3 2(a1+3d)+(a1+7d)-29=0

，
解得，a₁=1，d=2；
則a_n=2n-1，
b_n=a_n+2

an+1

2

=2ⁿ+2n-1，
則S_n=（1+2）+（3+4）+…+（2ⁿ+2n-1）
=（1+3+5+…+2n-1）+（2+4+8+…+2ⁿ）
=

(1+2n-1)n

2

+

2(1-2n)

1-2

=n²+2ⁿ⁺¹-2，
易驗(yàn)證點(diǎn)（3，S₃）即（3，23）到直線2x+y-24=0的距離最小，
即d=

|6+23-24|

4+1

=

5

，
即點(diǎn)（n，S_n）到直線2x+y-24=0的最小距離為

5

，
故答案為：

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，用到了拆項(xiàng)求和數(shù)列求和公式，屬于中檔題．