Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求證：AD₁⊥平面CDA₁B₁；
（2）求直線BD與平面CDA₁B₁所成的角．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由正方形性質(zhì)得AD₁⊥A₁D，由線面垂直得AD₁⊥A₁B₁，由此能證明AD₁⊥平面CDA₁B₁．
（2）過點B作BE⊥B₁C，交B₁C于點E，連接DE，∠BDE即為BD與面CDA₁B₁所成的角，由此能求出直線BD與平面CDA₁B₁所成的角．

解答： 解：（1）在正方體中，AD₁⊥A₁D，（1分）
又A₁B₁⊥面ADD₁A₁，且AD₁?面ADD₁A₁，
∴AD₁⊥A₁B₁，（4分）
∵A₁D，A₁B₁在平面CDA₁B₁內(nèi)，且相交，
∴AD₁⊥平面CDA₁B₁．（6分）
（2）過點B作BE⊥B₁C，交B₁C于點E，連接DE，（7分）
∵DE∥AD，AD₁⊥平面CDA₁B₁，
∴DE⊥平面CDA₁B₁，
∴∠BDE即為BD與面CDA₁B₁所成的角，（9分）
在Rt△DEB中，BE=

2

2

，BD=

2

，
∴sin∠EBD=

BE

BD

=

1

2

，（11分），
∴直線BD與平面CDA₁B₁所成的角為30°．（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查線面角的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．