精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知函數為實數)的圖像在點處的切線方程為.

（1）求實數的值及函數的單調區(qū)間；

（2）設函數，證明時， .

【答案】(1) ;函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為;(2)詳見解析.

【解析】試題分析：（1）由題得，根據曲線在點處的切線方程，列出方程組，求得的值，得到的解析式，即可求解函數的單調區(qū)間；

（2）由（1）得 根據由，整理得，

設，轉化為函數的最值，即可作出證明.

試題解析：

（1）由題得，函數的定義域為， ，

因為曲線在點處的切線方程為，

所以解得.

令，得，

當時， ， 在區(qū)間內單調遞減；

當時， ， 在區(qū)間內單調遞增.

所以函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.

（2）由（1）得， .

由，得，即.

要證，需證，即證，

設，則要證，等價于證： .

令，則，

∴在區(qū)間內單調遞增， ,

即，故.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱臺中，底面是正方形，且，點，分別為棱，的中點，二面角的平面角大小為.

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知分別為橢圓的左、右焦點，為該橢圓的一條垂直于軸的動弦，直線與軸交于點，直線與直線的交點為.

（1）證明：點恒在橢圓上.

（2）設直線與橢圓只有一個公共點，直線與直線相交于點，在平面內是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出該點坐標；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位.已知圓的方程為，直線的參數方程為（為參數，為直線的傾斜角）.

（1）寫出圓的極坐標方程和直線的普通方程；

（2）若為圓上任意一點，求點到直線的距離的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 的左焦點為F，上頂點為A，直線AF與直線 垂直，垂足為B，且點A是線段BF的中點.

（I）求橢圓C的方程；

（II）若M，N分別為橢圓C的左，右頂點，P是橢圓C上位于第一象限的一點，直線MP與直線 交于點Q，且,求點P的坐標.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，為拋物線上的兩個不重合的動點，且，滿足，.

（1）證明：線段的垂直平分線經過定點；

（2）若線段的垂直平分線與軸交于點，求面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）當時，求證：對任意，函數的圖象均在軸上方.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數為奇函數，且的極小值為.

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）若過點可作三條不同的直線與曲線相切，求實數的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案