Question

如圖,幾何體EABCD是四棱錐,△ABD為正三角形,CB=CD,EC⊥BD.

(1)求證:BE=DE;
(2)若∠BCD=120°,M為線段AE的中點(diǎn),求證:DM∥平面BEC.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析  （2）見(jiàn)解析

證明:(1)如圖所示,取BD的中點(diǎn)O,連接CO,EO.

由于CB=CD,
所以CO⊥BD.
又EC⊥BD,EC∩CO=C,
CO,EC?平面EOC,
所以BD⊥平面EOC,
因此BD⊥EO.
又O為BD的中點(diǎn),
所以BE=DE.
(2)法一　如圖所示,取AB的中點(diǎn)N,連接DM,DN,MN.

因?yàn)镸是AE的中點(diǎn),
所以MN∥BE.
又MN平面BEC,
BE?平面BEC,
所以MN∥平面BEC.
又因?yàn)椤鰽BD為正三角形,
所以∠BDN=30°.
又CB=CD,∠BCD=120°,
因此∠CBD=30°.
所以DN∥BC.
又DN平面BEC,BC?平面BEC,
所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN=N,
所以平面DMN∥平面BEC.
又DM?平面DMN,
所以DM∥平面BEC.
法二　如圖所示,延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)F,連接EF.

因?yàn)镃B=CD,∠BCD=120°,
所以∠CBD=30°.
因?yàn)椤鰽BD為正三角形,
所以∠BAD=60°,
∠ABC=90°,
因此∠AFB=30°,
所以AB=AF.
又AB=AD,
所以D為線段AF的中點(diǎn),
連接DM,由點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn),
得DM∥EF.
又DM平面BEC,EF?平面BEC,
所以DM∥平面BEC.