Question

（12分）已知橢圓C：過點，且橢圓C的離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若動點P在直線上，過P作直線交橢圓C于M，N兩點，且P為線段MN中點，再過P作直線.證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由橢圓過點，且橢圓C的離心率為，建立關于的方程組，可解得的值，即可得橢圓的方程.

（Ⅱ）由點P的橫坐標為-1，并且點P是MN的中點.直線有兩種情況，斜率存在時聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，消去y，由x的二次方程根據(jù)韋達定理，再寫出直線的方程，即可得到直線過定點.另外再檢驗斜率不存在的時同樣過定點.由此即可的結論.

試題解析：（Ⅰ）因為點在橢圓C上，所以，又橢圓C的離心率為，所以，

即，所以，所以橢圓C的方程為

（Ⅱ）設，，

①當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為，，

由，得，

所以，因為P為MN中點，所以，即，

所以，因為直線，所以，所以直線的方程為

，即，顯然直線恒過定點

②當直線MN的斜率不存在時，直線MN的方程為，

此時直線為x軸，也過點 綜上所述，直線恒過定點

（此題還可以用點差法）

考點：1.橢圓的方程的性質.2.直線與橢圓的位置關系.3.分類思想.4.運算能力.

考點分析： 考點1：橢圓的標準方程 考點2：橢圓的幾何性質 試題屬性

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