Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+4n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b₁=3，且b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)a_n與S_n之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2）利用累加法先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后利用分組求和法即可求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1²+4=5，
當(dāng)n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-（n-1）²-4（n-1）=2n+3，
綜上a_n=2n+3，（n∈N^*）；
（2）∵b_n+1-b_n=a_n=2n+3，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=3+5+7+…+（2n+1）=

3+2n+1

2

×n=n（n+2），
由（1）得：

1

bn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

，n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，利用裂項(xiàng)法以及累加法是解決本題的關(guān)鍵．