Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，其中a≥0，b，c∈R．
（1）若f′（

1

3

）=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)M表示f′（0）與f′（1）兩個數(shù)中的最大值，求證：當0≤x≤1時，|f′（x）|≤M．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由f（

1

3

）=0，得a=b．當a＞0時，通過求導，利用導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系列出表格即可得出單調(diào)區(qū)間；
（2）對a，b分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可證明．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，
∴f′（x）=3ax²-2（a+b）x+b，
由f′（

1

3

）=0，得a=b．
當a=0時，則b=0，f（x）=c不具備單調(diào)性．
當a＞0時，可得f（x）=ax³-2ax²+ax+c．
由f′（x）=a（3x²-4x+1）=0得x₁=

1

3

，x₂=1．
列表：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表可得，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，

1

3

）及（1，+∞）．單調(diào)減區(qū)間是[

1

3

，1]．
（2）當a=0時，f′（x）=-2bx+b，
    若b=0，則f′（x）=0，
    若b＞0，或b＜0，f′（x）在[0，1]是單調(diào)函數(shù)，
-f′（0）=f′（1）≤f′（x）≤f′（0），或-f′（1）=f′（0）≤f′（x）≤f′（1）．
∴|f′（x）|≤M．
當a＞0時，f′（x）=3ax²-2（a+b）x+b=3a（x-

a+b

3a

）²-

a2+b2-ab

3a

．
    ①當

a+b

3a

≥1或

a+b

3a

≤0時，則f′（x）在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)，
∴f′（1）≤f′（x）≤f′（0）或f′（0）≤f′（x）≤f′（1），且f′（0）+f′（1）=a＞0．
∴-M≤f′（x）≤M．
     ②當0＜

a+b

3a

＜1，即-a＜b＜2a，則-

a2+b2-ab

3a

≤f′（x）≤M．
          （i） 當-a＜b≤

a

2

時，則0＜a+b≤

3a

2

．
∴f′（1）-

a2+b2-ab

3a

=

2a2-b2-2ab

3a

=

3a2-(a+b)2

3a

≥

1

4

a²＞0．
∴-M＜f′（x）≤M．
           （ii） 當

a

2

＜b＜2a時，則（b-

a

2

）（b-2a）＜0，即a²+b²-

5

2

ab＜0．
∴b-

a2+b2-ab

3a

=

-a2-b2+4ab

3a

＞

-a2-b2+ 5 2 ab

3a

＞0，即f′（0）＞

a2+b2-ab

3a

．
∴-M＜f′（x）≤M．
綜上所述：當0≤x≤1時，|f′（x）|≤M．

點評：熟練掌握導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系并列出表格、分類討論的思想方法、二次函數(shù)的單調(diào)性設(shè)解題的關(guān)鍵．