Question

已知各項均不為零的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且4S_n=a_n•a_n+1+1（n∈N^*），其中a₁=1．
（1）求證：a₁，a₃，a₅成等差數(shù)列；
（2）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足2^b_n=1+

1

an

(n∈N*)，且T_n為其前n項和，求證：對任意正整數(shù)n，不等式2T_n＞log₂a_n+1恒成立．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列中的各項的值．
（2）利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，先進(jìn)行分類，進(jìn)一步總結(jié)出數(shù)列的通項公式．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，進(jìn)一步求出數(shù)列{b_n}的通項公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，從而得到恒成立問題．

解答： （1）證明：各項均不為零的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且4S_n=a_n•a_n+1+1（n∈N^*），
其中a₁=1．
則：當(dāng)n=1時，解得：a₂=3
當(dāng)n=2時，解得：a₃=5
當(dāng)n=3時，解得：a₄=7
當(dāng)n=4時，解得：a₅=9
由于：2a₃=a₁+a₅
所以：a₁，a₃，a₅成等差數(shù)列．
（2）證明：由于4S_n=a_na_n+1+1①
所以：4S_n-1=a_na_n-1+1②
①-②得：a_n+1-a_n-1=4
則數(shù)列的相鄰項成等差數(shù)列．
③當(dāng)數(shù)列是奇數(shù)項時，a₁=1公差為4
則：數(shù)列a_n=1+4（n-1）=4n-3
④當(dāng)數(shù)列是偶數(shù)項時，a₂=3
則：數(shù)列a_n=3+4（n-1）=4n-1
則相鄰項的差值為2，所以數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
（3）解：由（2）得到：a_n=1+2（n-1）=2n-1
所以：2bn=1+

1

an

整理得：bn=log2

2n

2n-1

T_n=b₁+b₂+…+b_n=log2(

2

1

•

4

3

•…

2n

2n-1

)
則：要使不等式2T_n＞log₂a_n+1恒成立
只需滿足2log2(

2

1

•

4

3

…

2n

2n-1

)＞log2an+1恒成立即可．
即：

2

1

•

4

3

•…

2n

2n-1

＞

2n+1

恒成立
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時，2＞

3

恒成立．
②當(dāng)n=k時，

2

1

•

4

3

•…

2k

2k-1

＞

2k+1

恒成立
則：當(dāng)n=k+1時，(

2

1

•

4

3

•…

2k

2k-1

)

2k+2

2k-1

＞

2k+1

2k+2

2k+1

=

(2k+2)2 2k+1

=

(2k+1)2+2(2k+1)+1 2k+1

＞

2k+1+2+ 1 2k+1

＞

2k+3

=

2(k+1)+1

所以無論n取任意正整數(shù)上述不等式恒成立．

點評：本題考查的知識要點：利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用．屬于中等題型．