Question

【題目】已知拋物線與軸交于點(diǎn),直線與拋物線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)．直線,分別交橢圓于點(diǎn)、（,與不重合）

(1)求證：；

(2)若,求直線的斜率的值；

(3)若為坐標(biāo)原點(diǎn),直線交橢圓于，，若,且,則是否為定值？若是,求出定值；若不是,請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)是定值,為定值10.

【解析】

(1) 直線和拋物線方程聯(lián)立,根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系、斜率公式可以計算出,也就證明出；

(2)設(shè)出直線的斜率,直線的斜率,求出它們的直線方程,通過解一元二次方程組求出,的坐標(biāo),最后利用面積公式求出的表達(dá)式,同理求出的表達(dá)式,最后求出直線的斜率的值；

(3) 設(shè),,根據(jù)余弦定理和,可以得到又,.通過對兩個等式進(jìn)行移項(xiàng)相乘和兩個等式相加,最后可以求出的值為定值.

解：(1)由題意知,直線的方程為．

由得,

設(shè)，，則，是上述方程的兩個實(shí)根，

于是,．

又點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以

故,即．

(2)設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，

由，解得，或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

又直線的斜率為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

于是，．

由得,

解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

又直線的斜率為,同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)．

于是,．

因此，．

由題意知,解得或．

又由點(diǎn),的坐標(biāo)可知,,所以．

(3)設(shè),,四邊形為平行四邊形，

由余弦定理有,

,

兩式相加得．

又．

又,，

上面兩式移項(xiàng)相乘得,

上面兩式相加得．

所以．

因此為定值10．