Question

（1）如圖1，在四面體ABCD中，平行于AB，CD的平面β截四面體所得截面為EFGH．

（ⅰ）若AB=a，CD=b （a＞b），求截面EFGH的周長的范圍．
（ⅱ）如果AB與CD所成角為θ，AB=a，CD=b是定值，當E在AC何處時？截面EFGH的面積最大，最大值是多少？
（2）如圖2，若點M為四面體ABCD底面△BCD的重心，任意作一平行于底面的截面分別與側(cè)棱AB，AC，AD交于B₁，C₁，D₁與AM交于點M₁，試探求：

AB

AB1

+

AC

AC1

+

AD

AD1

=x

AM

AM1

中x的值，并證明．

Answer 1

考點：平面的基本性質(zhì)及推論,基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）（�。├�用線面平行的判定與性質(zhì)，證出EF∥GH且EH∥FG，從而得到四邊形EGFH的兩組對邊分別平行，即四邊形EFGH為平行四邊形．
（ⅱ）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，容易得到AB∥HG，同理可得AB∥EF，所以得到HG∥EF，同理可得到截面EFGH的另一組對邊EH∥FG，這樣便得到截面EFGH的兩組對邊都平行，即得到截面EFGH是平行四邊形；
（2）利用平面與平面平行的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解答： （1）（�。┳C明：∵AB∥平面EFGH，AB?平面CAB，平面CAB∩平面EFGH=EF
∴AB∥EF．
同理可得BA∥GH，可得EF∥GH，同理得到GF∥HE，
∴四邊形EFGH為平行四邊形．         
且AB=a，CD=b （a＞b），∴

EH

b

=

AE

AC

①，

EF

a

=

CE

AC

②，
則①+②得，

EH

b

+

EF

a

=1，
∴EH=b-

b

a

EF，
∴四邊形EFGH的周長=2（EH+EF）=2（b+

a-b

a

EF），
∵0＜EF＜a，∴四邊形EFGH的周長為（2b，2a）；
（ⅱ）∵BA與DC所成角為θ，
∴平行四邊形EFGH中∠EFG=θ或180°-θ，
∵EFGH為平行四邊形，令

CE

CA

=λ(0＜λ＜1），
∵

EH

b

=

AE

AC

，

EF

a

=

CE

AC

∴EH=（1-λ）b，EF=λa
S_EFGH=EF•EH•sinθ=λa（1-λ）bsinθ=λ（1-λ）absinθ
∴當λ=

1

2

時，即E為AC中點時，截面EFGH面積最大，最大值為

1

4

absinθ；
（2）當截面無限接近底面時，可得x=3，證明如下：
由題意，任意作一平行于底面的截面分別與側(cè)棱AB，AC，AD交于B₁，C₁，D₁與AM交于點M₁，
∴AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁，AC∥A₁C₁，
∴

AB

AB1

=

AM

AM1

，

AC

AC1

=

AM

AM1

，

AD

AD1

=

AM

AM1

，
∴

AB

AB1

+

AC

AC1

+

AD

AD1

=3•

AM

AM1

．

點評：考查線面垂直的性質(zhì)，線面平行的性質(zhì)定理，以及平行線分線段成比例，屬于中檔題．