Question

已知a＞0，b＞0且a+b=1．
求證：（1）

1

a

+

1

b

≥4；
（2）

a+ 1 2

+

b+ 1 2

≤2．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）（

1

a

+

1

b

）（a+b）利用均值不等式證明．（2）平方轉(zhuǎn)化證明即可．

解答： 證明：（1）∵a＞0，b＞0且a+b=1，
∴

1

a

+

1

b

=（

a+b

a

+

a+b

b

）=2+

a

b

+

b

a

≥2+2=4．
∴

1

a

+

1

b

≥4；
（2）要證

a+ 1 2

+

b+ 1 2

≤2．
只需a+b+1-2

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤4，
即-2

ab+ 3 4

≤1，顯然成立，
∴原不等證

a+ 1 2

+

b+ 1 2

≤2成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用均值不等式法證明不等式，平方轉(zhuǎn)化證明，屬于容易題．