Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（II）

【解析】

（I）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解函數(shù)的單調(diào)性；

（II）由沒(méi)有實(shí)數(shù)解，結(jié)合a的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的性質(zhì)可判斷函數(shù)的零點(diǎn)存在情況，即可求解．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

所以，

令，得，

又因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，

所以在上，，單調(diào)遞減；

在上，，單調(diào)遞增.

（II）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，

即方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，

設(shè)函數(shù)，

，

（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，且，函數(shù)有零點(diǎn)；

（iii）當(dāng)時(shí)，令，則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，

令，得，

即函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，

綜上所述，若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，

即方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為.