Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax²-x（a≠0）．
（1）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象在公共點(diǎn)P處有相同的切線，求實(shí)數(shù)a的值并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象的公共點(diǎn)P（x₀，y₀），求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值相等，即可求出實(shí)數(shù)a的值并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）由f（x）=g（x），表示出a，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象的公共點(diǎn)P（x₀，y₀），則有lnx0=a

x

2 0

-x0①
又在點(diǎn)P有共同的切線，
∴f′(x0)=g′(x0)⇒

1

x0

=2ax0-1⇒a=

1+x0

2 x 2 0

，
代入①得lnx0=

1

2

-

1

2

x0----------3分
設(shè)h(x)=lnx-

1

2

+

1

2

x⇒h′(x)=

1

x

+

1

2

＞0(x＞0)
∴函數(shù)h（x）最多只有1個(gè)零點(diǎn)，由題意x₀=1是零點(diǎn)，
∴a=1，此時(shí)P（1，0）----------3分
（2）由f(x)=g(x)⇒lnx=ax2-x⇒a=

lnx+x

x2

---------2分
令r(x)=

lnx+x

x2

⇒r′(x)=

( 1 x +1)x2-2x(lnx+x)

x4

=

1-x-2lnx

x3

--2分
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，r'（x）＞0，則r（x）單調(diào)遞增
當(dāng)x＞1時(shí)，r'（x）＜0，則r（x）單調(diào)遞減，且

lnx+x

x2

＞0
∴r（x）在x=1處取到最大值r（1）=1，----------2分
∴要使y=

lnx+x

x2

與y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則有0＜a＜1----2分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．