Question

已知點(diǎn)P（x₀，y₀）是圓C：（x-2）²+（y-2）²=8內(nèi)一點(diǎn)（C為圓心），過(guò)P點(diǎn)的動(dòng)弦AB．
（1）如果P（1，1），|AB|=2

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，求弦AB所直線方程．
（2）如果P（1，1），當(dāng)∠PAC最大時(shí)，求直線AP的方程．
（3）過(guò)A、B作圓的兩切線相交于點(diǎn)M，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）當(dāng)AB⊥x時(shí)，a=2

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，此時(shí)AB：x=1，由對(duì)稱性可得另一條弦所在直線方程為y=1；
（2）由于以PC為直徑的圓在圓C內(nèi)，所以∠PAC為銳角，過(guò)C作PA的垂線，垂足為N，當(dāng)NC最大時(shí)，∠PAC最大；
（3）求出圓C在A、B處的切線方程，可得AB的方程，點(diǎn)P（x₀，y₀）在AB上，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)AB⊥x時(shí)，a=2

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，此時(shí)AB：x=1，由對(duì)稱性可得另一條弦所在直線方程為y=1；
（2）由于以PC為直徑的圓在圓C內(nèi)，所以∠PAC為銳角，過(guò)C作PA的垂線，垂足為N，當(dāng)NC最大時(shí)，∠PAC最大，
∵NC≤PC，
∴N，P重合時(shí)，∠PAC最大，
此時(shí)PA⊥PC，直線AP的方程為y=-x+2；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x′，y′），
圓C在A、B處的切線方程分別為：（x₁-2）（x-2）+（y₁-2）（y-2）=8，（x₂-2）（x-2）+（y₂-2）（y-2）=8，它們交于點(diǎn)M，
所以(x1-2)(x/-2)+(y1-2)(y/-2)=8，(x2-2)(x/-2)+(y2-2)(y/-2)=8，
∴AB的方程為（x-2）（x′-2）+（y-2）（y′-2）=8，
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在AB上，
∴（x₀-2）（x′-2）+（y₀-2）（y′-2）=8，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（x₀-2）（x′-2）+（y₀-2）（y′-2）=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．