Question

解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 如圖，三棱錐P－ABC中，PC平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一點，且CD平面PA (1) 求證：AB平面PCB (2) 求異面直線AP與BC所成角的大小 (3) 求二面角C－PA－B的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

(1)	∵PC平面ABC，平面ABC， ∴PCAB．…………………………2分 ∵CD平面PAB，平面PAB， ∴CDAB．…………………………4分 又， ∴AB平面PCB．…………………………5分
(2)	解法一： 過點A作AF//BC，且AF＝BC，連結PF，CF． 則為異面直線PA與BC所成的角．………6分 由1可得AB⊥BC， ∴CFAF． 由三垂線定理，得PFAF． 則AF＝CF＝，PF＝， 在中，tan∠PAF＝＝， ∴異面直線PA與BC所成的角為．…………………………………9分 　　解法二：由()AB平面PCB，∵PC＝AC＝2， 又∵AB＝BC，可求得BC＝． 以B為原點，如圖建立坐標系． 則A(0，，0)，B(0，0，0)， C(，0，0)，P(，0，2)． ，．…………………7分 則＋0＋0＝2． ＝＝． ∴異面直線AP與BC所成的角為．………………………10分
(3)	解法一： 取AP的中點E，連結CE、DE． ∵PC＝AC＝2，∴CEPA，CE＝． ∵CD平面PAB， 由三垂線定理的逆定理，得DEPA． ∴為二面角C－PA－B的平面角．…………………………………11分 由第一問AB平面PCB，又∵AB＝BC，可求得BC＝． 在中，PB＝， ． 在中，sin∠CED＝． ∴二面角C－PA－B的大小為arcsin．……14分 　　解法二： 設平面PAB的法向量為m＝(x，y，z)． ，， 則即 解得令＝－1，得m＝(，0，－1)． 設平面PAC的法向量為n＝()． ，， 則即 解得令＝1，得n＝(1，1，0)．……………………………12分 ＝． ∴二面角C－PA－B的大小為arccos．………………………………14分