Question

如圖所示，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，點(diǎn)P為棱D₁D的中點(diǎn)，且∠EOD=45°，AA₁=2a，AB=a．
（1）Q是BB₁上一點(diǎn)，且BQ=

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 a，求證：DQ⊥平面EAC；
（2）試判斷BP是否平行于平面EAC，并說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)M在側(cè)面BB₁C₁C及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AM⊥BP，試確定動(dòng)點(diǎn)M所在位置．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）充分利用正四棱錐的性質(zhì)可以證明AC⊥平面BD₁．再利用線面垂直的性質(zhì) 得到AC⊥DQ，進(jìn)一步得到所證；
（2）BP不平行于平面EAC．利用反證法證明．
（3）取BB₁中點(diǎn)G，連接CG，則M∈CG．由（1）知BP⊥AC，又取AA₁、CC₁中點(diǎn)R、S，連接PR、RG、GS、SP．
易證CG⊥平面BSP．得到CG⊥BP．于是BP⊥平面ACG．∴M∈CG

解答： （1）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，
∴AC⊥BD且AC⊥BB₁，
∴AC⊥平面BD₁．
又DQ⊆平面BD₁，
∴AC⊥DQ．
又在Rt△EDO中，∠EOD=45°，OD=

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a，
∴DE=

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a．
又BQ=

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 a=BD，可得DQ⊥OE，
∴DQ⊥平面EAC．--------（4分）
（2）解：BP不平行于平面EAC．理由如下：
若BP∥平面EAC，又BP⊆DPB，平面DPB∩平面EAC=OE，∴BP∥OE．
又O為BD中點(diǎn)，則E為DP中點(diǎn)，這與DP=a，DE=

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a矛盾，------------（9分）
（3）如圖，取BB₁中點(diǎn)G，連接CG，則M∈CG．
證明如下：
由（1）知BP⊥AC，又取AA₁、CC₁中點(diǎn)R、S，連接PR、RG、GS、SP．
可知ABCD-RGSP為正方體，易證CG⊥平面BSP．
∴CG⊥BP．
則BP⊥平面ACG．∴M∈CG．---------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是將所證轉(zhuǎn)化為線線問(wèn)題解答，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．