Question

已知直線l：3x-y-1=0及點A（4，1），B（0，4），C（2，0）．
（1）試在l上求一點P，使|AP|+|CP|最小，并求這個最小值；
（2）試在l上求一點Q，使||AQ|-|BQ||最大，并求這個最大值．

Answer 1

考點：兩點間距離公式的應用

專題：直線與圓

分析：（1）求出C關于直線的對稱點C′的坐標，求出直線AC′的方程，通過求解方程組，即可在l上求一點P，使|AP|+|CP|最�。�
（2）求出B關于直線的對稱點B′的坐標，求出直線AC′的方程，通過求解方程組，即在l上求一點Q，使||AQ|-|BQ||最大．

解答： 解：（1）設C關于直線的對稱點C′的坐標（a，b），
則

3× 2+a 2 - b 2 =0 b a-2 ×3=-1

，解得a=-1，b=1，即C′（-1，1），
則AC′的直線方程為：y=1，聯(lián)立

3x-y-1=0 y=1

，解得x=

2

3

，y=1，
即交點為P（

2

3

，1），此時|AP|+|CP|最小，最小為|AC′|=4+1=5；
（2）設B關于直線的對稱點B′的坐標（a，b），則

3× a 2 - 4+b 2 -1=0 b-4 a-0 ×3=-1

，解得a=3，b=3，解得B′（3，3），
直線AB′的方程為

y-3

x-3

=

3-1

3-4

，即2x+y-9=0，
聯(lián)立

2x+y-9=0 3x-y-1=0

，解得

x=2 y=5

，即Q（2，5），
由對稱性知，|BQ|=B′Q|，|AQ|-|BQ|=|AQ|-|B′Q|≤|AB′|（當且僅當Q、B′、A三點共線時取“=”），
∴l(xiāng)上的點Q（2，5），是使||AQ|-|BQ||最大的點．
此時最大值為|AB′|=

(4-3)2+(1-3)2

=

5

；

點評：本題考查直線關于直線，點關于直線對稱點的求法，兩點兩點距離之和與差的最值問題，考查計算能力．