Question

4．如圖（1）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=$\frac{π}{2}$，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點，將△ABE沿BE折起到圖（2）中△A₁BE的位置，得到四棱錐A₁-BCDE．


（Ⅰ）求證：CD⊥平面A₁OC；
（Ⅱ）當(dāng)平面A₁BE⊥平面BCDE時，若a=2，求四棱錐A₁-BCDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出BE⊥AC，BE⊥O，CD∥BE，由此能證明CD⊥平面A₁OC．
（Ⅱ）推導(dǎo)出A₁O是四棱錐A₁-BCDE的高，由此能求出四棱錐A₁-BCDE的體積．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）在圖（1）中，因為AD∥BC，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=a，
E是AD中點，∠BAD=$\frac{π}{2}$，
所以BE⊥AC，且CD∥BE，
所以在圖（2）中，BE⊥A₁O，BE⊥OC，…（4分）
又BE⊥平面A₁OC，CD∥BE，
所以CD⊥平面A₁OC．                            …（6分）
解：（Ⅱ）由題意，可知平面A₁BE⊥平面BCDE，且平面A₁BE∩平面BCDE=BE，
又由（1）可得A₁O⊥BE，所以A₁O⊥平面BCDE，
即A₁O是四棱錐A₁-BCDE的高，…（8分）
由圖（1）知，A₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，${S}_{BCDE}=BC•AB={a}^{2}$，又a=2，
所以四棱錐A₁-BCDE的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{BCDE}×{A}_{1}O$=$\frac{1}{3}{a}^{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．