Question

已知函數(shù)f（x）=

x

1+x2

，x∈（0，1）．
（1）設x₁，x₂∈（0，1），證明：（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]≥0；
（2）設a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，求u=

3a2-a

1+a2

+

3b2-b

1+b2

+

3c2-c

1+c2

的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求f′（x），判斷f′（x）的符號，得到f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，所以x₁-x₂≥0時，f（x₁）-f（x₂）≥0，所以（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]≥0；
（2）根據(jù)（1），u=f（a）（2a-b-c）+f（b）（2b-c-a）+f（c）（2c-a-b）=f（a）[（a-b）+（a-c）]+f（b）[（b-c）+（b-a）]+f（c）[（c-a）+（c-b）]=（a-b）[f（a）-f（b）]+（b-c）[f（b）-f（c）]+（c-a）[f（c）-f（a）]≥0，所以u的最小值為0．

解答： 解：（1）x∈（0，1）時，f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

＞0；
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
∴設x₁，x₂∈（0，1），不妨設x₁≤x₂，則f（x₁）≤f（x₂）；
∴（x₁-x₂）[f（x₁-f（x₂）]≥0；
（2）∵a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1；
∴a，b，c∈（0，1）；
∴由（1）及a+b+c=1得：u=f（a）（2a-b-c）+f（b）（2b-c-a）+f（c）（2c-a-b）
=f（a）[（a-b）+（a-c）]+f（b）[（b-c）+（b-a）]+f（c）[（c-a）+（c-b）]
=（a-b）[f（a）-f（b）]+（a-c）[f（a）-f（c）]+（b-c）[f（b）-f（c）]≥0；
∴u的最小值為0；

點評：考查根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，函數(shù)單調(diào)性的定義，對于第二問想著用上第一問的結(jié)論即可．