Question

【題目】如圖，在直四棱柱中，，：

（1）求證：平面；

（2）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式；（直接寫出答案，不必說明理由）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析：（2）4種不同的拼接方案，f（k）

【解析】

（1）取DC的中點(diǎn)E，連接BE，可證明四邊形ABED是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用線面垂直的判定定理即可證明．

（2）由題意可與左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案，新四棱柱共有此4種不同方案．通過比較即可得出f（k）．

（1）證明：取DC的中點(diǎn)E，連接BE，∵AB∥ED，AB＝ED＝3k，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴BE∥AD，且BE＝AD＝4k，∴BE2+EC2＝（4k）2+（3k）2＝（5k）2＝BC2，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CD，

又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．

∵側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，

∵AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1．

（2）由題意可與左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案．

通過比較即可得出f（k）．