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11.已知m=(cosx+3sinx,1),n=(2cosx,a)(x,a∈R,a為常數(shù))
(1)求y=mn關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);
(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)若x∈[0,\frac{π}{2}]上,f(x)的最大值為4,求a的值.

分析 (1)利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式及三角函數(shù)的恒等變換求得函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);
(2)根據(jù)正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)來求單調(diào)增區(qū)間;
(3)結(jié)合正弦函數(shù)的值域來求a的值.

解答 解:(1)∵\overrightarrow m=(cosx+\sqrt{3}sinx,1),\overrightarrow n=(2cosx,a)(x,a∈R,a為常數(shù)),y=\overrightarrow m•\overrightarrow n,
∴y=f(x)=2cos2x+2\sqrt{3}sinxcosx+a=cos2x+\sqrt{3}sin2x+a+1
=2(\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x)+a+1=2sin(2x+\frac{π}{6})+a+1;
(2)當(dāng)2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}即x∈[kπ-\frac{π}{3},kπ+\frac{π}{6}]k∈Z時(shí),函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增;
(3)∵x∈[0,\frac{π}{2}]
∴2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6},\frac{7π}{6}],
∴-\frac{1}{2}≤2sin(2x+\frac{π}{6})≤1,
∴y最大值=3+a=4,
則a=1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)圖象,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算以及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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