Question

已知f（x）=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

（x∈R，0≤θ≤π）是偶函數(shù)．
（Ⅰ）求θ和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，a=5，b=3，f（C）=-1，求c．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用函數(shù)是偶函數(shù)即可求θ和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理即可求出c的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）
=2sin（2x+θ+

π

3

），
∵f（x）是偶函數(shù)，∴θ+

π

3

=

π

2

+kπ，k∈Z
即θ=

π

6

+kπ，
∵0≤θ≤π，
∴當(dāng)k=0時(shí)，θ=

π

6

，
即f（x）=2cos2x，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵f（C）=-1，
∴f（C）=2cos2C=-1，
即cos2C=-

1

2

，
∴2C=

2π

3

，即C=

π

3

，
∵a=5，b=3，
∴c²=a²+b²-2abcosC=25+9-2×5×3×

1

2

=19，
即c=

19

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵，注意余弦定理的應(yīng)用．