Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²．
（Ⅰ）當a=2時，求曲線y=f（x）在點P（3，f（3））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）與g（x）=

1

2

x²-ax+

a2

2

的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a=2代入函數(shù)解析式，求導后得到f′（3）的值，求出P點坐標，由直線方程的點斜式得答案；
（Ⅱ）構造輔助函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），求其導函數(shù)，解得導函數(shù)的零點，對a分類后求出函數(shù)的極值，由極大值小于0且極小值大于0求解實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）a=2時，f(x)=

1

3

x3-x2，
∴f'（x）=x²-2x，f'（3）=3，
又點P（3，0），
∴過點P的切線方程為：3x-y-9=0；
（Ⅱ）設h(x)=f(x)-g(x)=

x3

3

-

a+1

2

x2+ax-

a2

2

．
h'（x）=x²-（a+1）x+a=（x-a）（x-1），
令h'（x）=0，得x=a或x=1．
（�。┊攁=1時，h′（x）=（x-1）²≥0，函數(shù)h（x）單調遞增，
函數(shù)f（x）與g（x）的圖象不可能有三個不同的交點；
（ⅱ）當a＜1時，

x	（-∞，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	極大- a3 6	↘	極小- a2 2 + a 2 - 1 6	↗

使得函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個不同的交點，則方程h（x）=0有三個不同的實根．
∴

- a2 2 + a 2 - 1 6 ＜0 - a3 6 ＞0

，得a＜0；
（ⅲ）當a＞1時，

x	（-∞，1）	1	（1，a）	a	（a，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	極大- a2 2 + a 2 - 1 6	↘	極小- a3 6	↗

由于極大值-

a2

2

+

a

2

-

1

6

＜0恒成立，故此時不能有三個解．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a＜0．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)極值的方法，訓練了分類討論的數(shù)學思想方法和數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．