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12.設(shè)數(shù)列{an},a1=7,a2=3,an+1=3an-2,n≥2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列bn=an12數(shù)列{cn}滿足cn=log3bn,求數(shù)列{cnbn}的前n項和Tn

分析 (1)由an+1=3an-2,n≥2.可得an+1-1=3(an-1),利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.
(2)由bn=an12,可得b1=3,bn=3n-2.?dāng)?shù)列{cn}滿足cn=log3bn,c1=1,n≥2時,cn=n-2.cnbn={3n=1n23n2n2.再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 解:(1)由an+1=3an-2,n≥2.可得an+1-1=3(an-1),
∴數(shù)列{an-1}是首項為2,3為公比的等比數(shù)列,
∴an-1=2×3n-2+1,
則an={7n=12×3n2+1n2
(2)由bn=an12,可得b1=3,bn=3n-2
數(shù)列{cn}滿足cn=log3bn
∴c1=1,n≥2時,cn=n-2.
∴cnbn={3n=1n23n2n2
∴數(shù)列{cnbn}的前n項和Tn=3+0+1×31+2×32+…+(n-3)•3n-3+(n-2)•3n-2.①
3Tn=32+0+1×32+2×33+…+(n-3)•3n-2+(n-2)•3n-1.②
①-②:-2Tn=-6+0+3+32+33+…+3n-2-(n-2)•3n-1=-6+33n2131-(n-2)•3n-1,
∴Tn=2n54×3n1+154

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、對數(shù)運算性質(zhì)、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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A.9n-1B.(3n-1)2C.129n1D.343n1

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