Question

9．設命題p：實數k滿足：方程$\frac{{x}^{2}}{k-1}$+$\frac{{y}^{2}}{7-a}$=1表示焦點在y軸上的橢圓；
命題q，實數k滿足：方程（4-k）x²+（k-2）y²=1不表示雙曲線．
（1）若命題q為真命題，求k的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據方程（4-k）x²+（k-2）y²=1不表示雙曲線的等價條件建立方程進行求解即可．
（2）根據橢圓的方程求出命題p的等價條件，結合必要不充分條件的定義進行轉化求解即可．

解答 解：（1）若命題q為真命題，則有（4-k）（k-2）≥0，得2≤k≤4
（2）若方程$\frac{{x}^{2}}{k-1}$+$\frac{{y}^{2}}{7-a}$=1表示焦點在y軸上的橢圓，
則7-a＞k-1＞0，
得1＜k＜8-a，（a＜7），
若p是q的必要不充分條件，
則$\left\{\begin{array}{l}{8-a＞4}\\{a＜7}\end{array}\right.$，即a＜4．

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的應用，根據橢圓和雙曲線方程的特點求出命題的等價條件是解決本題的關鍵．