Question

2．已知函數(shù) f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$，g （x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{x^3}{3}$，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x-4）?g（x+3），且函數(shù) F （ x） 的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]（ a＜b，a，b∈Z ）內(nèi)，則 b-a 的最小值為6．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出其零點(diǎn)的范圍，求出f（x-4）的零點(diǎn)所在的范圍；通過(guò)討論x的范圍，求出g（x）在R的導(dǎo)數(shù)，得到g（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出g（x+3）所在的零點(diǎn)的范圍，F(xiàn) （ x） 的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]，進(jìn)而求出a，b的值，求出答案即可．

解答 解：∵函數(shù) f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$，f′（x）=1-x+x²＞0，∴f（x）在R單調(diào)遞增，而f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）內(nèi)有零點(diǎn)，∴函數(shù)f（x-4）在[3，4]上有一個(gè)零點(diǎn)，
函數(shù)g （x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{x^3}{3}$，g′（x）=-1+x-x²＜0，∴f（x）在R單調(diào)遞減，而g（1）=1-1+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$＞0，g（2）=1-2+2$-\frac{8}{3}$＜0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有零點(diǎn)，∴函數(shù)g（x+3）在[-2，-1]上有一個(gè)零點(diǎn)，
函數(shù)F（x）=f（x-4）?g（x+3），且函數(shù) F （ x） 的零點(diǎn)在區(qū)間[-2，4]內(nèi)，
則 b-a 的最小值為：6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．