Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD為菱形，且PD=DC=2，∠ABC=60°，
（1）求證：AC⊥面 PDB；
（2）求直線PD與平面PAC所成角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出AC⊥BD，AC⊥PD，由此能證明AC⊥面PDB．
（2）利用等體積，求出D到平面PAC的距離，即可求出直線PD與平面PAC所成角的正切值．

解答： （1）證明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵PD∩BD=D，
∴AC⊥面PDB．
（2）解：△PAC中，PA=PC=

2

a，AC=a，S_△PAC=

1

2

×

2

a×

a2+ a2 2

=

3

2

a2，
設(shè)D到平面PAC的距離為h，則

1

3

×

3

2

a2h=

1

3

×

1

2

×a×a×a，
∴h=

3

3

a，
設(shè)直線PD與平面PAC所成角為α，則sinα=

3

3

，
∴tanα=

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查線面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，等體積法的合理運(yùn)用．