Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+acosx-

1

2

a-

3

2

，x∈R
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅲ）對(duì)于任意x∈[0，

π

3

]，不等式f（x）≥

1

2

-

a

2

都成立，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)f（x）進(jìn)行配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得其最小值；
（Ⅱ）配方后得到f（x）=-（cosx-

a

2

）²+

a2-2a-2

4

，再分類討論，繼而求出a的值；
（Ⅲ）令t=cosx，t∈[

1

2

，1]，分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=sin²x+cosx-2=-cos²x+cosx-1=-（cosx-

1

2

）²-

3

4

，
∵-1≤cosx≤1，
∴當(dāng)cosx=-1時(shí)，函數(shù)有最小值，
∴f（x）_min=-（-1-

1

2

）²-

3

4

=-3
（Ⅱ）∵f（x）=sin²x+acosx-

1

2

a-

3

2

=-cos²x+acosx-

a+1

2

=-（cosx-

a

2

）²+

a2-2a-2

4

，
當(dāng)-1≤

a

2

≤1時(shí)，即-2≤a≤2時(shí)，則當(dāng)cosx=

a

2

，函數(shù)的最大值為

a2-2a-2

4

=1，解得a=1+

7

＞2（舍去），a=1-

7

，
當(dāng)

a

2

＞1時(shí)，即a＞2時(shí)，則當(dāng)cosx=1時(shí)，函數(shù)有最大值，即1=-1+a-

a+1

2

，解得a=5，
當(dāng)

a

2

＜-1時(shí)，即a＜-2時(shí)，則當(dāng)cosx=-1時(shí)，函數(shù)有最大值，即1=-1-a-

a+1

2

，解得a=-7，
（Ⅲ）∵f（x）═-cos²x+acosx-

a+1

2

，
令t=cosx，由x∈[0，

π

3

]，得t∈[

1

2

，1]，
則f（t）=-t²+at-

a+1

2

∵f（x）≥

1

2

-

a

2

都成立，
∴f（t）≥

1

2

-

a

2

都成立，
∴-t²+at-

a+1

2

≥

1

2

-

a

2

在t∈[

1

2

，1]上恒成立，
即a≥t+

1

t

，在t∈[

1

2

，1]上恒成立，
設(shè)g（t）=t+

1

t

，
則g′（t）=1-

1

t2

≤0恒成立，
∴函數(shù)g（t）在[

1

2

，1]上為減函數(shù)
∴g（t）≤g（

1

2

）=

5

2

∴a≥

5

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值以及余弦函數(shù)的值域，函數(shù)恒成立，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、分類討論能力，恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決，屬于難題．