如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,AB=2,∠BAD=120°,PA⊥平面ABCD,M,N分別是BC,PC的中點.
(Ⅰ)證明:AM⊥平面PAD;
(Ⅱ)若H為∠ADH=45°上的動點,PA=2與平面PA⊥所成最大角的正切值為
6
2
,求二面角M-AN-C的余弦值.
考點:與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(Ⅰ)由已知條件推導出AM⊥BC,AM⊥AD,由線面垂直得PA⊥AM,由此能證明AM⊥平面PAD.
(Ⅱ)設H為PD上任意一點,連接AH、MH,由AM⊥平面PAD,得∠MHA為MH與平面PAD所成的角,過M作MS⊥AN于S,連接OS,由已知條件得∠MSO為二面角M-AN-C的平面角,由此能求出二面角M-AN-C的余弦值.
解答: (Ⅰ)證明:由四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120°,
可得∠ABC=60°,△ABC為正三角形.
因為M為BC的中點,所以AM⊥BC.…(2分)
又BC∥AD,因此AM⊥AD.
因為PA⊥平面ABCD,AM?平面ABCD,所以PA⊥AM.…(4分)
而PA∩AD=A,所以AM⊥平面PAD.…(5分)
(Ⅱ)解:設H為PD上任意一點,連接AH、MH
由(Ⅰ)知:AM⊥平面PAD.
則∠MHA為MH與平面PAD所成的角.…(7分)
在Rt△MAH中,AM=
3
,
所以當AH最短時,∠MHA最大,…(8分)
即當AH⊥PD時,∠MHA最大,
此時tan∠MHA=
AM
AH
=
3
AH
=
6
2

因此AH=
2
.又AD=2,
所以∠ADH=45°,于是PA=2.…(10分)
因為PA⊥平面ABCD,PA?平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD.
過M作MO⊥AC于O,則由面面垂直的性質(zhì)定理可知:MO⊥平面PAC,
所以MO⊥AN,過M作MS⊥AN于S,連接OS,AN⊥平面MSO,
所以AN⊥SO,則∠MSO為二面角M-AN-C的平面角.…(12分)
在Rt△AOM中,OM=AMsin30°=
3
2
,OA=AMcos30°=
3
2

又N是PC的中點,PA=AC,∴AN⊥PC且AN=NC
在Rt△ASO中,SO=AOsin45°=
3
2
4
,
SM=
MO2+SO2
=
30
4
…(13分)
在Rt△MSO中,cosMSO=
SO
SM
=
15
5

即二面角M-AN-C的余弦值為
15
5
.…(14分)
點評:本題考查直線與平面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
m
=(1,1),
n
=(1,2),則向量
m
與向量
n
夾角的余弦值為( 。
A、
5
10
B、
3
2
10
C、
3
5
10
D、
3
10
10

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=S12,公差d<0,求Sn的最值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2-bx(a≠0).
(Ⅰ)當b=1時,若函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;
(Ⅱ)當b=-1時,如果f(x)的圖象與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),記x0=
x1+x2
2
.試問:f(x)的圖象在點C(x0,f(x0))處的切線是否平行于x軸?證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=2sin(
π
2
x+
π
5
),若對一切x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,則|x1-x2|的最小值是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在極坐標系中,曲線ρcos2θ=4sinθ的焦點的極坐標
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若logab•log3a=2,則b的值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知集合M={1,2,3,4,5},N={2,4,6,8,10},則M∩N=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某市高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖(1)所示墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH,下半部分是長方體ABCD-EFGH,圖(2)、(3)分別是該標識墩的主視圖和俯視圖.

(1)請畫出該安全標識墩的側(cè)視圖,并標注上相關(guān)線段的長度.
(2)為了更好地保證高速公路上的交通安全,現(xiàn)打算給安全標識墩重新涂上紅色的油漆,每平方厘米用油漆1毫升,涂100個這樣的安全標識墩需用多少油漆?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案