Question

已知（

x

+

2

x2

）ⁿ的展開式的第5項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)之比為14：3．
（1）求正自然數(shù)n的值；     
（2）求展開式中的常數(shù)項．

Answer 1

考點(diǎn)：二項式定理的應(yīng)用

專題：二項式定理

分析：（1）直接利用條件可得意C_n⁴：C_n²=14：3，化簡得n²-5n-50=0，由此求得n=10．
（2）在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項．

解答： 解：（1）由題意C_n⁴：C_n²=14：3，化簡得n²-5n-50=0，∴n=10，或n=-5（舍去），
∴正自然數(shù)n的值為10．
（2）∵展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 10

•2^r•x5-

5r

2

，令5-

5r

2

=0，求得r=2，
∴常數(shù)項為第3項T₃=T₂₊₁=2²•C₁₀²=180．

點(diǎn)評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．