Question

已知函數f（x）=

ax+b

x2+1

（x∈R，a、b為實數），且曲線y=f（x）在點P(

1

3

，f(

1

3

))處的切線l的方程是9x+10y-33=0．
（1）求實數a，b的值；
（2）現將切線方程改寫為y=

3

10

（11-3x），并記g（x）=

3

10

（11-3x），當x∈[0，2]時，試比較f（x）與g（x）的大小關系；
（3）已知數列{a_n}滿足：0＜a_n＜2（n∈N^*），且a₁+a₂+…+a₂₀₁₄=

2014

3

，若不等式f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₄）≤x-ln（x-p）+2（p-2）在x∈（p，+∞）時恒成立，求實數f（x）的最小值．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數恒成立問題,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數，利用切線的斜率以及函數值得到方程組，即可求出a、b的值．
（2）求出f（x）-g（x）的表達式，構造函數，通過函數的導數以及函數的單調性極值推出大小關系．
（3））通過0＜a_n＜2（n∈N^*），由（1）知f（a_n）≤g（a_n），利用疊加法求出f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₄）取最大值6042，構造函數令h（x）=x-ln（x-p）+2（p-2），x＞p，通過函數的導數求得[h（x）]_min=g（p+1）=3（p-1），即可得到不等式f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₄）≤x-ln（x-p）+2（p-2）在x∈（p，+∞）時恒成立，實數f（x）的最小值．

解答： 解：（1）由f/(x)=

a(x2+1)-2x(ax+b)

(x2+1)2

=

a-ax2-2bx

(x2+1)2

及條件
可得f/(

1

3

)=-

9

10

，
化得4a-3b+5=0，又易知f(

1

3

)=3，化得a+3b-10=0
解得a=1，b=3，f(x)=

x+3

x2+1

．…（4分）
（2）f（x）-g（x）=

10(x+3)-3(11-3x)(x2+1)

10(x2+1)

=

9x3-33x2+19x-3

10(x2+1)

記h（x）=9x³-33x²+19x-3，x∈[0，2]．h′（x）=27x²-66x+19=（3x-1）（9x-19），
當x∈(0，

1

3

)時，h′（x）＞0，h（x）遞增，x∈(

1

3

，2)時，h′（x）＜0，h（x）遞減，
故當x∈[0，2]時，h(x)≤h(

1

3

)=0，
所以當x∈[0，2]時，f（x）≤g（x）．…（8分）
（3）∵0＜a_n＜2（n∈N^*），∴由（1）知f（a_n）≤g（a_n），即f(an)≤

3

10

(11-3an)，
由疊加可得：f(a1)+f(a2)+…+f(a2014)≤

3

10

[11×2014-3(a1+a2+…+a2014)]=6042，
∴當a1=a2=…=a2014=

1

3

時，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₄）取最大值6042．…（12分）
令h（x）=x-ln（x-p）+2（p-2），x＞p，則h/(x)=1-

1

x-p

=

x-p-1

x-p

，
由條件可求得[h（x）]_min=h（p+1）=3（p-1），…（14分）
要使不等式f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₄）≤x-ln（x-p）+2（p-2）在x∈（p，+∞）時恒成立，只需6042≤3（p-1），得p≥2015，
所以實數f（x）的最小值為2015．…（16分）

點評：本題考查函數的導數的應用，函數的切線方程，構造法，函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力，難度大．