Question

設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件：

x≥1 y≥ 1 2 x 2x+y≤10

的可行域?yàn)镸
（1）求A=y-2x的最大值與B=x²+y²的最小值；
（2）若存在正實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y=2asin（

x

2

+

π

4

）cos（

x

2

+

π

4

）的圖象經(jīng)過(guò)區(qū)域M中的點(diǎn)，求這時(shí)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用,簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）畫(huà)出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解即可．
（2）判斷區(qū)域的中點(diǎn)的范圍，然后推出關(guān)系式，即可求解a的范圍．

解答： 解：（1）由

x=1 y= 1 2 x

，得

x=1 y= 1 2

∴A(1，

1

2

)由

x=1 2x+y=10

，得

x=1 y=8

∴B（1，8）
由

2x+y=10 y= 1 2 x

，得

x=4 y=2

∴c（4，2），可行域M為如圖△ABC
∵kAC=

1

2

，又∵A=y-2x∴y=2x+A，A是y軸的截距，k=2＞kAC=

1

2

∴過(guò)點(diǎn)B（1，8）時(shí)，A_最大=8-2×1=6∵B=x²+y²是表示區(qū)域M上的點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)O（0，0）距離平方．
如圖A(1，

1

2

)使所求距離的平方最小，∴B最小=12+(

1

2

)2=

5

4

．
（2）∵a＞0，y=2asin(

x

2

+

π

4

)cos(

x

2

+

π

4

)=asin(x+

π

2

)=acosx過(guò)區(qū)域M中的點(diǎn)，
而區(qū)域中1≤x≤4又∵a＞0，函數(shù)y=acosx圖象過(guò)點(diǎn)(

π

2

，0)，1＜

π

2

＜4，
當(dāng)x∈(

π

2

，

3π

2

)時(shí)，y＜0，

3π

2

＞4
∴滿(mǎn)足y=acosx過(guò)區(qū)域M中的點(diǎn)，
只須圖象與射線x=1，(y≥

1

2

)有公共點(diǎn)．∴只須x=1時(shí)，acos1≥

1

2

∴a≥

1

2cos1

∴所求a的取值范圍是a∈[

1

2cos1

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．