Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與直線l：y=-

3

3

x+b交于不同的兩點(diǎn)P，Q，原點(diǎn)到該直線的距離為

3

2

，且橢圓的離心率為

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使直線y=kx+2交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得b=1，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，即可求得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使直線y=kx+2交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D（1，0），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及PQ⊥QD，即（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，化簡(jiǎn)整理，解出k，注意檢驗(yàn)判別式是否等于0，即可判斷．

解答： 解：（Ⅰ）由點(diǎn)到直線的距離公式，得d=

3

2

=

|b|

1+ 1 3

，
解得：b=1，即a²-c²=1，
又橢圓的離心率為

6

3

，即

c

a

=

6

3

，解得，a=

3

，
∴橢圓方程是

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使直線y=kx+2交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，
以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D（1，0）．
將y=kx+2代入橢圓方程，得，（1+3k²）x²+12kx+9=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D（1，0）．
則PQ⊥QD，即（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，得，（1+k²）（x₁x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5=0，
又x₁+x₂=-

12k

1+3k2

，x₁x₂=

9

1+3k2

，
代入上式可得，

12k+14

1+3k2

=0，解得，k=-

7

6

．
此時(shí)代入△=（12k）²-4×9（1+3k²）＞0，
則存在k=-

7

6

．使直線y=kx+2交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，
以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理解題，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．