Question

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為4.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)作兩條直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）.當(dāng)直線，的斜率之和為定值時(shí)，直線是否恒過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（I）根據(jù)橢圓的離心率和短軸長(zhǎng)列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（II）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，根據(jù)化簡(jiǎn)得到表達(dá)式.聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理，并代入上面求得的表達(dá)式，化簡(jiǎn)后可求得的關(guān)系式，帶回直線的方程，由此求得直線所過定點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，利用，求出的值，由此判斷此時(shí)直線所過定點(diǎn).

（Ⅰ）由題意知：，，.

解得，，，所以橢圓方程為.

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，

由，得，整理得

聯(lián)立，消去得，由題意知二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根.

∴，，

代入得.

整理得.

∵，∴，∴，即.

所以直線過定點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，其中.

∴ ，由，得，∴.

∴當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線也過定點(diǎn).

綜上所述，直線恒過定點(diǎn).