Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當，討論的零點個數(shù)；

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為：，；單調(diào)遞增區(qū)間為：，；（2）當時，在上有2個零點，當時，在上無零點.

【解析】

（1）先判斷為偶函數(shù)，再利用導數(shù)研究上的單調(diào)性，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，得到答案.（2）先求出導函數(shù)，然后對按照，，進行分類討論，當，得到在單調(diào)遞增，結(jié)合，判斷出此時無零點，當，得到單調(diào)性，結(jié)合，的值，以及偶函數(shù)的性質(zhì)，得到零點個數(shù).

解：∵∴為偶函數(shù)，

只需先研究

當，，當，，

所以在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減

所以根據(jù)偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，

得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

.故單調(diào)遞減區(qū)間為：，；單調(diào)遞增區(qū)間為：，

（2）

①時，在恒成立

∴在單調(diào)遞增

又，所以在上無零點

②時，，

使得，即.

又在單調(diào)遞減，

所以，，，

所以，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，

又，

（i），即時

在上無零點，

又為偶函數(shù)，所以在上無零點

（ii），即

在上有1個零點，

又為偶函數(shù)，所以在上有2個零點

綜上所述，當時，在上有2個零點，當時，在上無零點.