Question

拋物線y²=2x與過焦點(diǎn)的直線交于A、B兩點(diǎn)，O是原點(diǎn)，則

OA

•

OB

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由拋物線y²=2x與過其焦點(diǎn)（

1

2

，0）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)坐標(biāo)，

OA

•

OB

═x₁•x₂+y₁•y₂，由韋達(dá)定理可以求得答案．

解答： 由題意知，拋物線y²=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，0），∴直線AB的方程為y=k（x-

1

2

），
由

y2=2x y=k(x- 1 2 )

得k²x²-（k²+2）x+

1

4

k²=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

k2+2

k2

，x₁x₂=

1

4

，y₁•y₂=k（x₁-

1

2

）•k（x₂-

1

2

）=k²[x₁•x₂-

1

2

（x₁+x₂）+

1

4

]，
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=

1

4

+k²[

1

4

-

1

2

k2+2

k2

+

1

4

]=-

3

4

；
故答案為：-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，轉(zhuǎn)為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的問題．