Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，D，E，F分別為B₁A，C₁CBC的中點．
（I）求證：DE∥平面ABC；
（II）平面AEF⊥平面BCC₁B₁；求三棱錐A-BCB₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證DE∥平面ABC，根據線面平行的判定定理可知，證線線平行，取AB中點G，連DG，CG，只需證DE∥GC即可；
（2）欲證平面AEF⊥平面BCC₁B₁，根據面面垂直的判定定理可知，證AF⊥平面BCC₁B₁即可，然后再根據體積公式求出三棱錐A-BCB₁的體積．
解答：解：（I）取AB中點G，連DG，CG
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，
∴BCC₁B₁是矩形．
∵D，E分別為AB₁，CC₁的中點，
∴，
∴是平行四邊形，∴DE∥GC．（4分）
∵GC?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．（5分）

（II）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，
∴AF⊥CC₁∵AB=AC，F為BC中點，∴AF⊥BC
又BC∩CC₁=C∴AF⊥平面BCC₁B₁，（9分）又AF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面BCC₁B₁（10分）
AF⊥平面BCC₁B₁，
在由已知，RT△ABC中，AB=AC=2，
∴BC=2，
∴（14分）
點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，以及線面關系和幾何體的體積，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．