已知函數(shù)f(x)=xlnx(x∈(0,+∞)).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)g(x)=2f(x)-blnx+x在x∈[1,+∞)上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:計(jì)算題,存在型,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:求導(dǎo)后可知單調(diào)區(qū)間;通過獨(dú)立參數(shù),構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為最值問題.
解答: 解:(1)f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1;
令f'(x)>0,即:lnx+1>0,
解得:x>
1
e
,即f(x)在(
1
e
,+∞)上單調(diào)遞增;
令f'(x)<0,即:lnx+1<0
解得:0<x<
1
e
,即f(x)在(0,
1
e
)上單調(diào)遞減.
綜上所述,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是:(
1
e
,+∞),單調(diào)減區(qū)間是:(0,
1
e
).
(2)∵函數(shù)gx)=2f (x)-blnx+x在[1,+∞)上存在零點(diǎn),
∴方程2xlnx-blnx+x=0在[1,+∞)上有實(shí)數(shù)解.
易知x=1不是方程的實(shí)數(shù)解,
∴方程2xlnx-blnx+x=0在(1,+∞)上有實(shí)數(shù)解,
即方程b=2x+
x
lnx
在(1,+∞)上有實(shí)數(shù)解.
設(shè)g(x)=2x+
x
lnx
(x>1),
g′(x)=2+
lnx-1
(lnx)2
=
(2lnx-1)(lnx+1)
(lnx)2

∵x>1,
∴l(xiāng)nx>0,lnx+1>0,
當(dāng)2lnx-1>0,即x>
e
時(shí),g′(x)>0,
當(dāng)2lnx-1<0,即1<x<
e
時(shí),g′(x)<0,
∴g(x)在(1,
e
)上單調(diào)遞減,在(
e
,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(x)min=4
e
,
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為[4
e
,+∞).
點(diǎn)評:本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,同時(shí)考查了函數(shù)與方程之間的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知{an}是公差為2的等差數(shù)列,且a3+1是a1+1與a7+1的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=
an-1
2n
(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=ex-1-tx,?x0∈R,使f(x0)≤0,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(Ⅱ)證明:
b-a
b
<ln
b
a
b-a
a
,其中0<a<b;
(Ⅲ)設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù),證明:[ln(1+n)]≤[1+
1
2
+…+
1
n
]≤1+[lnn](n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a≠0,
(Ⅰ)當(dāng)a=2求f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若f(x)在x=-1處取得極值,關(guān)于x的方程f(x)=m有3個(gè)不同實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,某測量人員為了測量西江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)A,B之間的距離,她在西江南岸找到一個(gè)點(diǎn)C,從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A,B;找到一個(gè)點(diǎn)D,從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A,C;找到一個(gè)點(diǎn)E,從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B,C;并測量得到數(shù)據(jù):∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1百米.
(1)求△CDE的面積;
(2)求A,B之間的距離的平方.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax2+2ln(1-x),其中a∈R.
(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使得f(x)在x=
1
2
處取極值?試證明你的結(jié)論;
(2)若f(x)在[-1,
1
2
]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知三角形ABC中滿足條件:(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),試判斷該三角形的形狀.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知函數(shù)f(x)=log3(ax2-ax+1)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)已知函數(shù)f(x)=log3(ax2-ax+1)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若a,b,c為正實(shí)數(shù)且滿足a+2b+3c=6,則
a+1
+
2b+1
+
3c+1
的最大值為
 

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