Question

已知{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，且a₃+1是a₁+1與a₇+1的等比中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

an-1

2n

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項公式和等比中項性質(zhì)，求出數(shù)列的首項，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=

an-1

2n

=

n

2n-1

，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： （滿分12分）
（1）解：∵{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，
∴a₃=a₁+4，a₇=a₁+12，（2分）
又a₃+1是a₁+1與a₇+1的等比中項，
∴（a₃+1）²=（a₁+1）（a₇+1），
即（a₁+5）²=（a₁+1）（a₁+13）（4分）
解得：a₁=3，∴a_n=2n+1．（6分）
（2）解：∵b_n=

an-1

2n

=

n

2n-1

，
∴T_n=

1

20

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n-1

，

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

（8分）
兩式相減得：

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

（10分）
=2-

2

2n

-

n

2n

∴Tn=4-

n+2

2n-1

．（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．