Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為 ．

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)，若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線相交于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）,（2）

【解析】分析：（Ⅰ）將直線的參數(shù)方程中的參數(shù)消掉，得到直線的普通方程，將曲線的極坐標(biāo)方程等號(hào)兩邊同乘以，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，求得結(jié)果；

（Ⅱ）根據(jù)題意，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入，求得對(duì)應(yīng)直線的斜率，兩個(gè)方程聯(lián)立，求得弦的中點(diǎn)，之后應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式求得結(jié)果.

詳解：（Ⅰ）消去直線的參數(shù)方程中的參數(shù)，得到直線的普通方程為：，把曲線的極坐標(biāo)方程 左右兩邊同時(shí)乘以，得到：，

利用公式代入，化簡(jiǎn)出曲線的直角坐標(biāo)方程：；

（Ⅱ）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，將點(diǎn)的直角坐標(biāo)為代入直線中，得，即，聯(lián)立方程組：，得中點(diǎn)坐標(biāo)為，

從而.