Question

已知矩陣A=

1 a -1 b

，A的一個(gè)特征值λ=2，其對(duì)應(yīng)的特征向量是

a1

=

2 1

（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）若向量

β

=

7 4

，計(jì)算A⁴

β

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：幾種特殊的矩陣變換,特征向量的定義,特征值、特征向量的應(yīng)用

專題：矩陣和變換

分析：（1）解法一：利用特征值與特征向量的定義，建立方程組，求出a、b的值，即可求得矩陣A；解法二：首先寫出矩陣的特征多項(xiàng)式，然后利用特征值與特征向量的定義，建立方程組，求出a、b的值，即可求得矩陣A；
（2）利用特征向量的性質(zhì)計(jì)算，先利用特征向量表示向量

α2

，然后把A⁴

β

的值的問題轉(zhuǎn)化成求有關(guān)特征向量的計(jì)算問題．

解答： 解：（I）解法一：由已知可得

1，a -1，b

2 1

=2

2 1

∴

2+a=4 -2+b=2

解之得

a=2 b=4

∴A=

1，2 -1，4

解法二：矩陣的特征多項(xiàng)式為f（λ）=

.

λ-1 -a 1 λ-b

.

，
∵A的一個(gè)特征值為λ=2，其對(duì)應(yīng)的特征向量為

α1

=

2 1

∴λ，

α1

滿足方程組

(λ-1)x-ay=0 x+(λ-b)y=0

∴

2-a=0 2+(2-b)=0

∴

a=2 b=4

∴A=

1，2 -1，4

（II）由f（λ）=（λ-1）（λ-4）+2=0，可得λ₁=2，λ₂=3
當(dāng)λ₂=3代入

(λ-1)x-2y=0 x+(λ-4)y=0

得

2x-2y=0 x-y=0

∴

α2

=

1 1

令β=m

α1

+n

α2

∴

7 4

=m

2 1

+n

1 1

∴

2m+n=7 m+n=4

，∴

m=3 n=1

∴

7 4

=3

2 1

+

1 1

∴A4β=m

λ

4 1

α1

+n

λ

4 2

α2

=3×24

2 1

+1×34

1 1

=

96 48

+

81 81

=

177 129

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用，考查了特征值、特征向量的運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是要注意公式的靈活運(yùn)用．