Question

9．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅?zhǔn)侵�名�?shù)學(xué)家祖沖之之子，祖暅原理敘述道：“夫疊棋成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異．”意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體被平行于這兩個(gè)平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．其最著名之處是解決了“牟合方蓋”中的體積問(wèn)題，其核心過(guò)程為：如下圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，求圖中四分之一圓柱體BB₁C₁-AA₁D₁和四分之一圓柱體AA₁B₁-DD₁C₁公共部分的體積V，若圖中正方體的棱長(zhǎng)為2，則V=（　�。�  
（在高度h處的截面：用平行于正方體上下底面的平面去截，記截得兩圓柱體公共部分所得面積為S₁，截得正方體所得面積為S₂，截得錐體所得面積為S₃，${S_1}={R^2}-{h^2}$，${S_2}={R^2}$⇒S₂-S₁=S₃）

• A． $\frac{16}{3}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． 8
• D． $\frac{8π}{3}$

Answer 1

分析 在高度h處的截面：用平行于正方體上下底面的平面去截，記截得兩圓柱體公共部分所得面積為S₁，截得正方體所得面積為S₂，截得錐體所得面積為S₃，${S_1}={R^2}-{h^2}$，${S_2}={R^2}$⇒S₂-S₁=S₃，求出S₃=h²，再由定積分求出錐體體積，由正方體的體積減去錐體體積即可．

解答 解：在高度h處的截面：用平行于正方體上下底面的平面去截，
記截得兩圓柱體公共部分所得面積為S₁，截得正方體所得面積為S₂，
截得錐體所得面積為S₃，
可得${S_1}={R^2}-{h^2}$，${S_2}={R^2}$⇒S₂-S₁=S₃，
由S₃=h²，可得${∫}_{0}^{2}$h²dh=$\frac{1}{3}$h³|${\;}_{0}^{2}$=$\frac{8}{3}$．
則則V=8-$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不規(guī)則幾何體的體積的求法，考查祖暅原理的運(yùn)用，以及定積分的運(yùn)用，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．