如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，∠,點是棱的中點.

（Ⅰ）求證：⊥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）由側(cè)面，均為正方形可證明三棱柱是直三棱柱. 又點是棱的中點可證明.從而通過線面垂直的判定定理可證⊥平面；（Ⅱ）連結(jié)，交于點，連結(jié)，通過三角形中位線的知識證明線線平行，從而由線面平行的判定定理得到平面；(Ⅲ)根據(jù)題中相關(guān)垂直條件構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系.再找平面的法向量及平面的法向量，計算法向量的夾角，通過比較得到二面角的平面角，從而得到所求.
試題解析：（Ⅰ）證明：因為側(cè)面，均為正方形，
所以,
所以平面，三棱柱是直三棱柱. 　　　     1分
因為平面，所以，　　 2分
又因為，為中點，
所以.                 3分
因為,
所以平面.          4分
（Ⅱ）證明：連結(jié)，交于點，連結(jié)，
因為為正方形，所以為中點，
又為中點，所以為中位線，
所以，             6分
因為平面，平面，
所以平面.        8分

(Ⅲ)解： 因為側(cè)面，均為正方形， ，
所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則.
，            9分
設(shè)平面的法向量為，則有
取，得.                                   10分
又因為平面，所以平面

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，三棱錐P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC， D是PB上一點，且CD⊥平面PAB．

（1）求證：AB⊥平面PCB；
（2）求異面直線AP與BC所成角的大小；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，點M是棱BB1上一點．

(1)求證：B1D1∥平面A1BD；
(2)求證：MD⊥AC；
(3)試確定點M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

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在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1.

(1)求異面直線B1C1與AC所成角的大�。�
(2)若該直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為，求點A到平面A1BC的距離．

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如圖，已知四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，平面，． 

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）若是的中點，求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，棱柱的側(cè)面是菱形，

（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）設(shè)是上的點，且平面，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知三角形與所在平面互相垂直，且，，，點,分別在線段上，沿直線將向上翻折，使與重合．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點．

(1)證明：B1C1⊥CE；
(2)設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為.求線段AM的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．

(1) 證明：BD⊥平面PAC；
(2) 若AD＝2，當(dāng)PC與平面ABCD所成角的正切值為時，求四棱錐P－ABCD的外接球表面積．

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