在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn)．

(1)求證：B1D1∥平面A1BD；
(2)求證：MD⊥AC；
(3)試確定點(diǎn)M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

(1)見(jiàn)解析. (2)見(jiàn)解析.(3)當(dāng)點(diǎn)M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí)，平面DMC1⊥平面CC1D1D.

解析試題分析：(1)由直四棱柱概念，得BB1//DD1，
得到四邊形BB1D1D是平行四邊形，從而B(niǎo)1D1∥BD，由直線與平面平行的判定定理即得證.
(2)注意到BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，推出BB1⊥AC.
又BD⊥AC，即得AC⊥平面BB1D1D.而MD?平面BB1D1D，故得證.
(3)分析預(yù)見(jiàn)當(dāng)點(diǎn)M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí)，符合題意.此時(shí)取DC的中點(diǎn)N，D1C1的中點(diǎn)N1，連接NN1交DC1于O，連接OM，證得BN⊥DC.又DC是平面ABCD與平面DCC1D1的交線，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，推出BN⊥平面DCC1D1.又可證得，O是NN1的中點(diǎn)，由四邊形BMON是平行四邊形，得出OM⊥平面CC1D1D，得證.
試題解析：(1)由直四棱柱概念，得BB1//DD1，
∴四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴B1D1∥BD.
而B(niǎo)D?平面A1BD，B1D1?平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.
(2)∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴BB1⊥AC.
又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D.
而MD?平面BB1D1D，∴MD⊥AC.

(3)當(dāng)點(diǎn)M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí)，取DC的中點(diǎn)N，D1C1的中點(diǎn)N1，連接NN1交DC1于O，連接OM，如圖所示．
∵N是DC的中點(diǎn)，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD與平面DCC1D1的交線，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.
又可證得，O是NN1的中點(diǎn)，∴BM∥ON且BM=ON，即四邊形BMON是平行四邊形，∴BN∥OM，∴OM⊥平面CC1D1D，因?yàn)镺M?面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.
考點(diǎn)：線面平行的判定定理，線面垂直的判定及性質(zhì)，面面垂直的判定，四棱柱的幾何特征.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖，已知、、為不在同一直線上的三點(diǎn)，且，.

（1）求證：平面//平面；
（2）若平面，且，，，求證：平面；
（3）在（2）的條件下，求二面角的余弦值.

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已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點(diǎn)。沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖) .

(1) 當(dāng)x=2時(shí)，求證：BD⊥EG ；
(2) 若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；
(3) 當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)，求二面角D-BF-C的余弦值.

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如圖，已知平面，，是正三角形，AD=DEAB，且F是CD的中點(diǎn)．

⑴求證：AF//平面BCE；
⑵求證：平面BCE⊥平面CDE.

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（1）求證：；
（2）求點(diǎn)到平面的距離．

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G為線段PC的中點(diǎn).

（1）證明：PA//平面BGD；
（2）求直線DG與平面PAC所成的角的正切值.

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將邊長(zhǎng)為的正方形和等腰直角三角形按圖拼為新的幾何圖形,中,,連結(jié),若,為中點(diǎn)

（Ⅰ)求與所成角的大小;
（Ⅱ)若為中點(diǎn)，證明：平面；
（Ⅲ)證明：平面平面

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如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，∠,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：⊥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

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如圖,在梯形中，,，,平面平面,四邊形是矩形,,點(diǎn)在線段EF上.

(1)求異面直線與所成的角；
(2)求二面角的余弦值.

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